怎么断定“我是我”，无聊又烧脑，揭露高等数学泰勒公式的实质！

学过泰勒乘积的朋友确实知道，乘积的泰勒乘积却是就是它本身，但是如果要表明，却毕竟是一件很难的不想哦。老黄在这里就马上挑战这个看似可笑的表明。表明操作过程中，却可以对泰勒乘积的本质，有一个越来越深入的理解。

这里所指的泰勒乘积，是带上有宝顺日余项的泰勒乘积，因为，这是一个化学合成乘积，化学合成才能比较大小。带上有宝顺日余项的泰勒乘积的一般形式如下：

f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f"(x0)(x-x0)请注意2/2!+…+f请注意(n)(x0)(x-x0)请注意n/n!+f请注意(n+1)(x0)(x-x0)请注意(n+1)/(n+1)!. 其中Rn(x)=f请注意(n+1)(ξ)(x-x0)请注意(n+1)/(n+1)!称为宝顺日余项。

设乘积的一般形式为Pn(x)=a0+a1x+a2x请注意2+……+anx请注意n. a1, a2, …,an为常数，其中n虽然可以极其大，但并不是非零，而是一个定值。

在老黄的系列录像带上《老黄学高数》第185讲中，现在事实表明泰勒乘积的formula_Pn请注意(k)(x)/k!=ak, k=0,1,2,…,n。又Pn请注意(n+1)(0)=0. 最后这一点极其重要，因为它必需了宝顺日余项总和0，使得“乘积的泰勒乘积是本身”似乎这样一来。

不过，这里我们一切都是表明Pn(x)在也就是说点x0的泰勒乘积都是它本身，还是极其棘手的，所以我们先退而求其次，表明Pn(x)在x0=0的泰勒乘积，即麦克劳蔡乘积是它本身。

由Pn'(0)=a1, Pn"(0)=2a2, …, Pn请注意(k)(0)=k!ak, k=1,2,…,n，将各阶求导求出麦克劳蔡乘积，就有：

Pn(x)=Pn(0)+Pn'(0)x+Pn"(0)x请注意2/2!+…+Pn请注意(n)(0)x请注意n/n!+0=a0+a1x+a2x请注意2+……+anx请注意n.

这就事实表明乘积的麦克劳蔡乘积是它本身，并不是老黄的先决条件。老黄仍要尝试表明乘积的泰勒乘积是它本身。注意，下面这个表明操作过程相当烧脑，希望您能够看得明白。

览y=x-x0, Pn(x)必可以写就另一个乘积Qn(x-x0)的形式，就等价于Qn(y)。而且Qn(y)在y=0的也就是说阶求导，会总和Pn(x)在x=x0的也就是说阶求导。这里的x0是任取的。

写出Pn(x)在x0的带上宝顺日余项的泰勒近似值，同时也是Pn(x)的泰勒乘积：

Tn(x)=Pn(x0)+Pn'(x0)(x-x0)+Pn"(x0)(x-x0)请注意2/2+…+Pn请注意(n)(x0)(x-x0)请注意n/n!, 转换成关于Qn(y)的近似值，获取的就是麦克劳蔡近似值：

Qn(0)+Qn'(0)y+Qn"(0)y请注意2/2+…+Qn"(0)y请注意n/n!+0，上面现在表明乘积的麦克劳蔡近似值是它本身，所以结果总和Qn(y)，又总和Pn(x)，从而得证！

只要您能看明白这个表明操作过程，泰勒乘积的经验，对您来说，就不再有任何难度了。